Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx

1 Тема. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость. Лекция. Геометрические образы. Способы задания линий. Геометрические образы уравнений и неравенств. Определение геометрического образа при помощи уравнений и неравенств. 4 Пересечение двух линий Параметрическое представление линии. 5 Уравнение линии в полярных координатах. 5 Лекция. Прямая на плоскости. 7 Каноническое уравнение прямой на плоскости. 7 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору. 7 Общее уравнение прямой на плоскости. 8 Уравнение наклонной прямой с угловым коэффициентом y = kx+ b. 8 Уравнение прямой в отрезках. 9 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. 9 x, y. Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору Угол α между прямыми y = kx + b, y = kx + b. Признаки коллинеарности и перпендикулярности прямых. Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки ( x, y ) до прямой, заданной общим уравнением A x+ B y+ C = Лекция 3. Плоскость в пространстве. 3 Каноническое уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору. 3 Общее уравнение плоскости a x+ b y+ c z+ d =. 4 Уравнение плоскости в отрезках. 5 Уравнение плоскости, проходящей через три точки. 6 Нормальное уравнение плоскости. 6 Расстояние от точки ( x, y, z ) до плоскости, заданной общим уравнением. 6 Угол между плоскостями. 6 Лекция 4. Прямая в пространстве. 7 Канонические уравнения прямой в пространстве. 7 Параметрические уравнения прямой. 7 Уравнения прямой, проходящей через две точки. 8 Угол между прямыми в пространстве. 8 Угол между прямой и плоскостью находим по формуле. 9 Расстояние точки до прямой. 9 Список рекомендуемой литературы. 9 Список дополнительной литературы. Тема. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость Составитель: В.П.Белкин. Лекция. Геометрические образы. Способы задания линий Геометрические образы уравнений и неравенств Геометрическим образом уравнения F( x, y) = называется множество всех точек ( x, y ) плоскости, координаты которых при подстановке в уравнение обращают его в тождество.

2 Как правило, образ уравнения является линией, но могут быть и исключения. Например, уравнение x y определяет только одну точку ;. Другое уравнение x + y = + = ( ) соответствует пустому образу. График функции y f x - это геометрический образ уравнения = ( ) y f ( x) = Из школы наиболее известны геометрические образы: прямая, например x+ y =; парабола, например, y = x ; окружность x + y = R. Таким образом, линия представляет собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению Fxy (, ) =. Уравнение Fxy (, ) = называется уравнением линии в заданной системе координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты xy, каждой точки линии, и не удовлетворяют координаты xy, ни одной точки, не лежащей на этой линии. Переменные x и y в уравнении линии называются текущими координатами точек линии. Пример. Проверить, что точка ( ;4) принадлежит параболе y = x Решение. Подставим в уравнение координаты x =, y = 4 этой точки: y параболе. = x 4=, получилось тождество. Следовательно проверяемая точка лежит на Геометрический образ неравенства F( x, y) или (, ) F x y для уравнения. Как правило, образ неравенства является областью. Граница этого области определяется уравнением F x, y =, которое получается заменой знака неравенства на знак «равно» ( ) определяется аналогично как Например, неравенство x + y определяет на плоскости круг радиуса R = с центром в точке ( ;) R= Поясним сказанное. Граница неизвестного геометрического образа определяется уравнением x + y =, т.е. является окружностью, которая разбивает плоскость на две части. Одна часть определяется неравенством x + y, а другая x + y. Это значит, что искомый образ внутренность круга или его внешность. Направление вектора, перпендикулярного границе образа, на чертеже показывает на нужную часть плоскости. Чтобы из этих двух частей правильно указать нужную часть, подставим координаты контрольной точки (;) в данное неравенство x + y +, получилось тождество. Поэтому все точки образа данного неравенства лежат в той части плоскости, где находится проверяемая контрольная точка. Пример. Построить геометрический образ неравенства x+ y > Решение. Граница области x+ y = - прямая, которую построим по двум точкам A ( ; ), B ( ;)

3 3 B A Проведем границу пунктирной линией, что означает граница не принадлежит образу неравенства со строгим знаком «>» ; в неравенство получаем ложное При подстановке координат контрольной точки ( ) неравенство x+ y > + >. Поэтому вектором показываем верхнюю полуплоскость, которой не принадлежит контрольная точка. x + y > Пример. Построить геометрический образ системы y = x Решение. Геометрический образ этой системе получается как пересечение двух геометрических образов x+ y ( верхняя полуплоскость без границы ), y = x ( прямаябиссектриса -ой четверти). D B C A Геометрический образ системы это полупрямая CD, у которой удалена граничная точка C. ( этот факт указывается стрелкой или не заштрихованным кружком) Пример. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек A( ; 3) и B(3;). Решение: Выполним чертеж. Построим геометрически множество точек, равноудаленных от двух данных точек D B C A Проверим, что требуемое геометрическое места точек это срединный перпендикуляр CD отрезку AB. Пусть xy (;) - произвольная точка данного геометрического места. Тогда A = B из равенства прямоугольных треугольников AC и BC. Найдем уравнение прямой CD. к По условию A получаем: = B. С другой стороны, по формуле расстояния между двумя точками

4 A = ( x + ) + ( y + 3) ; B = ( x ) + ( y 3). Приравняв эти выражения, получим уравнение данного геометрического места: ( x + ) + ( y + 3) = ( x ) + ( y 3). Возводя в квадрат обе части уравнения, раскрывая скобки в подкоренных выражениях и приводя подобные члены, получим уравнение x + y =. Таким образом, координаты любой точки данного геометрического места удовлетворяют уравнению x + y =. 4 Определение геометрического образа при помощи уравнений и неравенств С развитием компьютерных технологий возникает необходимость перехода от наглядного образа к его аналитическому заданию при помощи математических средств ( как правило, уравнений и неравенств) Фактически это обратная задача к рассмотренной ранее прямой задаче «по уравнению построить образ». Пример. Охарактеризовать неравенствами приведенный геометрический образ треугольник A B. B A (x,y) Решение. Уравнение границы A таково x =. Любая точка (, ) x y из треугольника AB находится правей этой границы и поэтому имеет неотрицательную абсциссу, т.е. верно для точки ( x, y ) неравенство x. Уравнение границы AB, y =. Так как очка ( x, y ) лежит ниже это границы, то верно y. Уравнение границы B, y = x. Это уравнение прямой, проходящей через две точки, B ( ;). Проверяем неравенство y x при помощи контрольной точки ( ; ), которая принадлежит треугольнику A B : y x верно. Поэтому координаты точки (, ) x y, лежащей в той же полуплоскости, что контрольная точка, удовлетворяют этому неравенству. Вывод. Треугольник A B является пересечением трех полуплоскостей, определяемых неравенствами x, y, y x. Поэтому он определяется как геометрический образ системы неравенств x y y x Пересечение двух линий. Задача о нахождении точек пересечения двух линий L и L, заданных уравнениями f( xy, ) = и f (, xy ) =, состоит в нахождении координат точек, удовлетворяющих f(, xy) = каждому из этих уравнений. Поэтому следует решить систему уравнений. f(, x y) = Если эта система не имеет решений, то линии и L не пересекаются. L

5 Пример. Найти точки пересечения прямой y = x и окружности x + y = 5. x+ y = 6 Решение. Решаем систему уравнений. y = x Решение. Исключаем y с помощью второго уравнения. Получаем x+ y = 6 x+ x = 6, x =. Отсюда y = x = = 4 Ответ. Две прямые пересекаются в единственной точке ( ;4 ) 5 Параметрическое представление линии. Для аналитического представления линии можно задавать координаты x = x(), t y = y() t точек этой линии при помощи параметра t, где аргумент t функции xt (), yt () изменяется в некоторой области изменения. x = xt () Итак, линия задана параметрически, если. С механической точки зрения такая y = yt () x, y, если t - время, а x = x(), t линия определяется как траектория движущейся точки ( ) y = y() t - законы изменения абсциссы и ординаты текущей точки ( x, y ). Исключая из двух параметрических уравнений параметр t, получаем уравнение к F x, y =. уравнению вида ( ) Пример. Найдем параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координат. Пусть xy (, ) - любая точка этой окружности, а ϕ - угол между радиусом-вектором и осью x, отсчитываемый против часовой стрелки. ϕ x R Тогда x = R cosϕ, y = Rsinϕ. Получены параметрические уравнения окружности Исключаем параметра ϕ из этих уравнений и получаем уравнение линии в декартовой системе координат: x + y = ( Rcosϕ ) + ( Rsinϕ) x + y = R Уравнение линии в полярных координатах. Введем на плоскости полярные координаты: выберем на плоскости точку (полюс) и выходящий из нее луч x ; укажем единицу масштаба. Полярными координатами точки называются два числа: r (полярный радиус) равное расстоянию точки от полюса и ϕ (полярный угол) угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки луч x до совмещения с лучом. r= ϕ x

6 6 Точку обозначают символом ( r, ϕ ) и обычно считают, что r <+, ϕ< π или π < ϕ π Обычно полярную систему координат совмещают с декартовой прямоугольной системы координат. Для этого в качестве полюса берется начало координат, а ось абсцисс в качестве полярной оси r ϕ по Декартовы координатами ( x, y ) выражаются полярные координаты (, ) формулам: x = r cosϕ, y = r sinϕ ϕ x y Эти формулы получаем из прямоугольного треугольника. Формулы перехода x = r cosϕ, y r sin = ϕ позволяют получить уравнение линии ( ) F x, y = в полярной системе координат. Пример. Найти уравнение параболы y = x в полярной системе координат. Решение. Подставим в это уравнение декартовы координаты, выраженные через полярные координаты x = r cosϕ, y = r sinϕ. Получаем: y = r sin ( r cos ) x ϕ= ϕ, r sinϕ= r cos ϕ, sinϕ = r cos ϕ sinϕ Ответ. r = cos ϕ Пример. Построить линию r = cosϕ. Найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат. Решение. Составим таблицу значений полярного радиуса r, будем давать значения полярному углу ϕ от до 8 с шагом π =, 5. Далее при изменении ϕ от 8 до 36 8 значения r будут повторяться. Кривая будет симметрична относительно полярной оси. ϕ, ,5 9, ,5 8 r,85,4,77 -,77 -,4 -,85 - ϕ,5 5 47,5 7 9, ,5 36 r -,85 -,4 -,77,77,4,85 С помощью таблицы строим точки кривой в полярной системе координат. Затем эти точки соединяем плавной кривой. r Связь декартовых и полярных координат точки ( x, y ) выражается формулами

7 7 y x = r cosϕ, y = rsinϕ, а также tgϕ =, r = x + y x Определим тип кривой. Для этого переходим от ее уравнения в полярной системе координат к уравнению в декартовой системе координат. Получим r = cosϕ r = rcosϕ. Подставим r = x + y. Отсюда x + y = x. Выделим полный квадрат ( x ) + y =. Окончательно получаем уравнение окружности с центром (; ) и радиусом R =. Лекция. Прямая на плоскости Каноническое уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через точку (, ) x x y y вектору s = ( m, n) имеет вид: =. m n s (x,y) x y параллельно заданному ненулевому Ненулевой вектор s, параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой. x, y - произвольная точка данной прямой. Находим Выведем это уравнение. Пусть ( ) векторы = ( x x y y ), Применим признак коллинеарности для векторов, s. Получаем: x x y y s = m n Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору Даны точка ( x, y ) и ненулевой вектор n = ( a, b). Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору n имеет вид a x x + b y y =. Вектор n, перпендикулярный прямой, называется нормалью ( ) ( ) прямой. 9 n ( x; y) ( x; y) Вывод уравнения. Пусть ( x, y ) - произвольная точка данной прямой. Находим вектор = ( ), который перпендикулярен вектору n = ( a, b). Применим признак x x y y, перпендикулярности этих векторов: n n = Вычисляем скалярное произведение n a ( x x ) b ( y y ) = +

8 Итак, координаты произвольной точки ( x, y ) удовлетворяют уравнению ( ) + ( ) =. a x x b y y 8 Общее уравнение прямой на плоскости Преобразуем полученное ранее уравнение a x x + b y y = a x a x b y b y ( ) ( ) + =, a x b y ( a x b y ) + + = Обозначим константу c = a x b y и получим общее уравнение прямой ax+ by+ c =. Уравнение вида ax+ by+ c = называется линейным, т.е. переменные x, y входят в уравнение в первых степенях. Любая прямая на плоскости определяется линейным уравнением. A n 9 B Анализ общего уравнения ax+ by+ c =.. Коэффициенты ab, этого уравнения это координат нормали прямой.. Переменные x, y называются текущими координатами произвольной точки прямой. 3. c = ax+ by =, прямая проходит через начало координат c c 4. a = by+ c=, y =. Обозначим константу y = и запишем уравнение y = y. b b Это прямая параллельна оси абсцисс и проходит через точку y на оси ординат. y y = y c c 5. b = ax+ c=, x =. Обозначим константу x =. Получаем уравнение x = x. a a Это прямая параллельна оси ординат и проходит через точку x на оси абсцисс. x = x x Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A (,) перпендикулярно оси. Решение. Так как искомая прямая перпендикулярна оси, то ее уравнение x = x, где x = - абсцисса точки A (,). Ответ. x = Уравнение наклонной прямой с угловым коэффициентом y = kx+ b Это уравнение получается из общего уравнения, если выразить Геометрический смысл коэффициентов этого уравнения: k = tgα - тангенс угла наклона прямой к оси ; b - отрезок, отсекаемый прямой на оси. y через x.

9 9 b α Пример. Определить коэффициенты k и b для прямой 6х + y =. Найти угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Решение. Разрешим уравнение относительно y : y = 6х + или y = 3х. Откуда находим k = 3, b =. Применим геометрический смысл углового коэффициента, k = tgα. Отсюда угол наклона прямой равен α= arctgk = arctg3 7,5 x y Уравнение прямой в отрезках + = p q x y Уравнение вида + = называется уравнением прямой в отрезках на осях. p q q p Коэффициенты p, q равны отрезкам, отсекаемым прямой на осях координат. Доказательство. Уравнение линейное, поэтому на плоскости оно определяет прямую. Точка пересечения прямой с осью абсцисс имеет нулевую ординату. Находим абсциссу этой точки. Подставим в уравнение прямой значение y =. Получаем x y x + = + = ; x = p. p q p q Пример. Построить прямую x+ 3y = 6. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от координатного угла Приводим уравнение прямой к уравнению в отрезках. Делим обе части уравнения на 6. x+ 3y x+ 3y = 6 =, x 3 y x y + =, + = Отсюда находим отрезки на осях p = 3, q =. Площадь треугольника равна 3 S = pq=3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A( x, y ) и (, ) Это уравнение имеет вид x x x x y y =. y y B x y.

10 Докажем это утверждение. Проведем на чертеже прямую AB. Укажем произвольную точку ( x, y ) на этой прямой. B A Находим векторы: AB B A x x, y y и A A = = ( ) = = ( x x, y y ). Применим признак коллинеарности векторов AB и A : AB A x x y y = x x y y Выведенное уравнение справедливо даже в случае, например, x x =, т.е. прямая параллельна оси, и ее уравнение принимает вид x x =, а координата y при этом является произвольной. y y В частности, угловой коэффициент этой прямой k =. x x B y A y α C x x BC y y Этот факт можно получить из уравнения или по чертежу, так как k = tgα= = AC x x Уравнение пучка прямых в точке ( x, y ) Это уравнение имеет вид y y = k ( x x ) ; ). Меняя значение углового коэффициента k в промежутке ( + можно получить любую прямую, проходящую через точку, кроме вертикальной прямой x = x. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку ( x, y ), параллельно вектору s = ( m, n) x x y y Эти уравнения получаются из канонического уравнение прямой =. m n x x y y Обозначим дроби как значение параметра =, а затем выразим текущие m n x = x + m t координаты x, y через этот параметр. Получаем систему двух уравнений y = y + n t Угол между прямыми α k k Формула tgα= + k k y = kx+ b, y = kx + b

11 k α k ϕ ϕ Доказательство. Обозначим ϕ, ϕ - углы наклона прямых к оси абсцисс. Тогда верно равенство α=ϕ ϕ. Находим tgϕ tgϕ tgα= tg( ϕ ϕ ) = + tg ϕ tg ϕ Согласно геометрическому смыслу углового коэффициента можно записать равенства,. Поэтому k k k = tgϕ k = tgϕ tgα= + k k Признаки коллинеарности и перпендикулярности прямых ) признак коллинеарности прямых, k = k; ) признак перпендикулярности (ортогональности) прямых, k k =. В случае перпендикулярности прямых угол α= 9 и tgα не существует. Правая часть k k формулы tgα= не существует, если производится деление на нуль, т.е. для + k k перпендикулярных прямых верно равенство + k k =, что равносильно k k =., параллельно Пример. Составить уравнения прямых, проходящих через точку ( ; ) прямой L : x+ 3 y 3=. Решение. Приведем уравнение прямой x+ 3y 3= 3 x+ y = ; y = x+ 3 Угловой коэффициент прямой y = k x+ bравен k = 3 Уравнение пучка прямых в точке ( x; y ) имеет вид y y = k ( x x). Случай. Угловые коэффициенты параллельных прямых совпадают, поэтому принимаем knap = k = 3 4 Отсюда y y = knap ( x x) y+ = ( x ) ; y = x Случай. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен k nep = = 3 k y y = knep ( x x) y+ = ( x ) ; y = x

12 L Нормальное уравнение прямой. Это уравнение имеет вид ax + by p =,где a + b = и p. n (x,y) Выясним геометрический смысл коэффициента p. Нормальный вектор n = ( a, b) является ортом, так как a Пусть (, ) + b =. x y - произвольная точка прямой. Тогда проекция вектора = ( x, y) на вектор n = ( a, b) равна Πp = ax + by. Следовательно, уравнение можно переписать так: n ax + by p = Πp n = p Пример. Найти расстояние начала координат до прямой 3x 4y+ =. Решение. Приводим уравнение A x+ B y+ C = к нормальному виду. Сначала поменяем знак у свободного коэффициента, а затем разделим обе части уравнения на нормирующий множитель A + B : 3x 4y+ = 3x+ 4y =, Требуемое расстояние равно p = 5 3x+ 4y =, ( ) 3 4 x+ y = Расстояние точки ( x, y ) до прямой, заданной общим уравнением A x+ B y+ C = Это расстояние h измеряется по перпендикуляру, опущенному из точки (, ) прямую и выражается по формуле h = A x + B y + C A + B x y на

13 9 h 3 Пример. Определить расстояние от точки ( ; ) до прямой 3 x+ 4 y 4= Решение. Выполним чертеж. Построим прямую по уравнению в отрезках: x y x y 3 x+ 4 y 4= 3 x+ 4 y 4, + =. Теория: + =, a = 8, b = a b h Расстояние h от точки ( x ; y ) до прямой A x+ B y+ C = h = A x + B y + C A + B 3 x + 4 y 4 = = 3 + 4( ) 4 5 = 5 =4,4 Лекция 3. Плоскость в пространстве Каноническое уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору Даны точка ( x, y, z ) и ненулевой вектор n = ( a, b, c). Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору n имеет вид a x x + b y y + c z z =. Вектор n, перпендикулярный плоскости, называется ( ) ( ) ( ) нормалью плоскости. n 9 (x,y,z) Вывод уравнения. Пусть ( x, y, z ) - произвольная точка данной плоскости. Находим вектор = (,, ), который перпендикулярен вектору n = ( a, b, c). Применим x x y y z z признак перпендикулярности этих векторов: n n =

14 Вычисляем скалярное произведение ( ) ( ) ( Итак, координаты произвольной точки ( x, y, z ) удовлетворяют уравнению ( ) + ( ) + ( ) =. a x x b y y c z z n = a x x + b y y + c z z ) 4 Общее уравнение плоскости a x+ b y+ c z+ d = Общее уравнение плоскости получается из канонического уравнения. Раскроем скобки a ( x x ) + b ( y y ) + c ( z z ) = a x a x + b y b y + c z c z = Сгруппируем постоянные слагаемые и их сумму обозначим d = ( a x b y c z ) a x+ b y+ c z+ ( a x b y c z ) =, a x+ b y+ c z+ d = Анализ общего уравнения плоскости Поясним расположение плоскости в пространстве в зависимости от того, если некоторые коэффициенты общего уравнения равны нулю.. Коэффициенты abc,, при текущих переменных x, yz, - это проекции нормального вектора плоскости.. Свободный коэффициент d =. Это равносильно тому, что плоскость проходит через начало координат. 3. a = b y+ c z+ d = - плоскость параллельна оси абсцисс или проходит через нее. Это означает, что плоскость перпендикулярна плоскости Z. 4. b = a x+ c z+ d = - плоскость параллельна оси ординат (перпендикулярна плоскости Z ). 5. c = a x+ b y+ d = - плоскость параллельна оси ординат (перпендикулярна плоскости ). d d 6. a =, b = c z+ d =, z =. Обозначим константу z =. Уравнение плоскости примет вид плоскости c c. Эта плоскость параллельна плоскости (или совпадает) координатной z = z и проходит через точку z на оси аппликат. Нетрудно указать расположение в пространстве плоскостей x = x, y = y. Вывод. Если в уравнении отсутствует переменная - плоскость параллельна (или проходит) той оси, имя которой отсутствует в уравнении плоскости. z Пример. Построить плоскости: ) y + + = ) y =. Решение. Плоскость - неограниченная фигура. Поэтому для создания ее образа следует построить какую-то характерную ее часть, например, в виде треугольника или параллелограмма. z. В уравнении y + + = отсутствует переменная x, поэтому плоскость параллельна оси z. Построим прямую y + + = в плоскости Z как прямую, заданную уравнением в y z отрезках + =. Затем эту прямую параллельно перенесем вдоль оси

15 Z Возникает параллелограмм - как часть построенной плоскости.. В уравнении y = отсутствуют переменные x, z.поэтому плоскость параллельна осям, Z,т.е плоскость параллельна координатной плоскости Z и проходит через точку y = на оси ординат. Z Уравнение плоскости в отрезках x y p + z q + r = Значения p, qr, - это отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях. Плоскость изображаем как плоскость треугольника с вершинами на координатных осях. Z r q p x y z Пример. Построить плоскость + =. 3 x y z x y z Решение. Это уравнение плоскости в отрезках + + = + + =, в котором 3 p q r p =, q = 3, r =. Построим отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, а затем построим треугольник ABC, плоскость которого и есть требуемая плоскость.

16 A Z 3 B 6 C - Уравнение плоскости, проходящей через три точки ( x, y, z ), (,, ) ( x, y, z ) Это уравнение записывается с помощью определителя: x x y y z z x x y y z z x x y y z z =. x y z, Вывод уравнения. Если определитель раскрыть по первой строке, то увидим, что это линейное уравнение, т.е. оно определяет в пространстве плоскость. Подстановкой координат трех точек,, в это уравнение можно убедиться, что плоскость проходит через эти точки. Нормальное уравнение плоскости a x+ b y+ c z p=, p, a + b + c = Константа p выражает расстояние начала координат до плоскости, а нормаль этой плоскости n = ( a, b, c) является единичным вектором. Пример. Найти расстояние начала координат до прямой x+ y+ z =. Решение. Приводим общее уравнение A x+ B y+ C z+ D = к нормальному виду. Разделим обе части уравнения на нормирующий множитель A + B + C : x+ y+ z x+ y+ z = =, x+ y+ z 4= Искомое расстояние равно p = 4 Расстояние от точки ( x, y, z ) до плоскости, заданной общим уравнением A x+ B y+ C z+ D = Это расстояние h измеряется по перпендикуляру, опущенному из точки (,, ) плоскость и выражается по формуле h = A x + B y + C y + D A + B + C x y z на Угол между плоскостями Угол ϕ между плоскостями определяется как линейный угол ϕ = ABC двугранного угла, образованного двумя полуплоскостями с общим ребром. Линейный угол возникает в сечении двугранного угла при помощи плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла. Его можно построить, если из точки, взятой на ребре восставить перпендикуляры в полуплоскостях. Угол ϕ между плоскостями равен углу между их нормалями и находится по формуле n n cosϕ= n n.

17 7 n A ϕ n ϕ B C Условие параллельности плоскостей равносильно коллинеарности их нормалей n = ( a, b, c), n = ( a, b, c ): a b c n n = =. a b c Условие перпендикулярности ( ортогональности) двух плоскостей, n n =. Лекция 4. Прямая в пространстве x x y y z z Канонические уравнения прямой в пространстве = = m n p Прямая проходит через точку ( x, y, z ), параллельно ненулевому вектору s ( m, n, p) который называется направляющим вектором прямой. Переменные x, yz, - текущие координаты произвольной точки ( x, y, z ) прямой. (x,y,z) =, s Для вывода этих уравнений запишем проекции вектора ( x x y y z z ) применим условие коллинеарности векторов: x x y y z z s = = m n p Параметрические уравнения прямой Направляющий вектор s ( m; n; p x = m t+ x y = n t + y z = p t + z =,, и, параметр t ( ; + ) = ), точка прямой (,, ) x y z. Эти уравнения получаются из канонических уравнений прямой. Обозначим x x y y z z = = = t. Выразим параметр текущие координаты через t : m n p x x m y y n z z p = t = = t t x = m t+ x y = n t + y z = p t + z

18 Уравнения прямой, проходящей через две точки ( x, y, z ) и (,, ) x x y y z z = = x x y y z z В качестве направляющего вектора прямой принимаем вектор s = x y z : 8 s ax+ by+ cz+ d = Уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей: ax + by + cz + d = Пример. Найти параметрические уравнения прямой, заданной системой линейных уравнений x y+ z 6= 3x y+ z 7= Решение. Объявим переменную z свободной, т.е. она может принимать любые значения. Переменные x, y выразим через параметр z. x y+ z 6= Преобразуем x y = 6 z 3x y+ z 7= 3x y = 7 z Вычитаем почленно уравнения: 3x y x y = 7 z 6 z ; x = z ( ) ( ) ( ) ( ) Подставим в первое уравнение x y 6 z z y = 6 z, y = 4+ z = ( ) x = z Получили уравнение прямой в проекциях y = 4 + z Выразим переменную z через x, y. Получаем канонические уравнения прямой: x = z x y = 4 = z y 4 = z Угол между прямыми в пространстве Угол ϕ между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами S, S S S и его можно найти по формуле cosϕ= S S ϕ S S Условие параллельности прямых равносильно коллинеарности их направляющих векторов S m, n, p S = m, n, p : = ( ), ( ) m n p S S = =. m n p

19 Условие перпендикулярности двух прямых, S S =. 9 n S Угол между прямой и плоскостью находим по формуле sinϕ= n S Пусть n - нормаль плоскости, S - направляющий вектор прямой. B Угол ϕ n 9 ϕ S A ϕ C между прямой и плоскостью по определению равен углу между прямой AB и ее проекцией AC на плоскость. Поэтому угол между векторами n и S равен n S Находим косинус угла между этими векторами cos( 9 ϕ ) = n S n S После преобразования получаем формулу sinϕ= n S n n x y n Признак перпендикулярности прямой и плоскости, n S, или = = s s s Расстояние точки до прямой x y z 9 ϕ. Пусть n - нормаль плоскости, S - направляющий вектор прямой, - некоторая точка прямой. Выполним чертеж. h 9 z ϕ B S Расстояние точки до прямой равно Вывод формулы: h = sinϕ= S h = S S sinϕ S = S S Список рекомендуемой литературы.письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В ч. Ч. / Д.Т. Письменный. М. : Айрис-пресс, с.. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии- М: Наука, Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин и др. - М.: изд-во Банки и биржи, ЮНИТИ, с.

20 Список дополнительной литературы. Головина Л.Л. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев. М. : Высш. шк., с. 3. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра.-м.наука, Солодовников А.С, Торопова Г.А. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии,987, ВШ 5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов.м.:наука, Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В ч. Ч. / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М. : Высш. шк., с. 7. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев. М. : Высш. шк. 34 с.